Есть версия:
Когда у простолюдинов фамилий не было, говорили: "Это Ванька, сын Максима" (или "максимов сын") или упрощённо "Да то ж максимов Ванька идёт!" Вот дети Максима и получили фамилию - Максимовы...
На снимке: Тамара Максимова, "Музыкальный ринг".